Geometría analitica : Elipse

DEFINICIÓN DE ELIPSE

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos. Gráficamente esto es:

Con relación a la figura, el segmento de recta V2V1 que pasa por los focos es el eje mayor. La mediatriz B2B1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V1 y V2 se llama vértice. El punto medio del segmento F2F1 se llama centro de la elipse. La distancia del centro a cada vértice se llama semieje mayor y la distancia del centro a cada extremo del eje menor se conoce como semieje menor.

Para dibujar una elipse lo que se necesita es una cuerda, dos alfileres y un lápiz. Se colocan los dos

alfileres en una hoja de papel (éstos son los focos de la elipse). Se toma un pedazo de cuerda mayor

que la distancia entre los dos alfileres (ésta representa la constante de la definición) y se sujetan sus

extremos a cada alfiler. Finalmente, se pone la punta del lápiz bajo la cuerda y se mueve hacia un

mismo lado. La figura resultante es (por definición) una elipse. Se obtienen diferentes formas de

elipses según la ubicación de los alfileres y la longitud de la cuerda que los une.

Elementos de la elipse:

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

A partir de la definición de la elipse y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares. Si los vértices se ubican en las coordenadas ( 0) 1 V ,a y ( 0) 2 V − ,a , los focos están en ( 0) 1F ,c y ( 0) 2 F − ,c , el eje mayor de la elipse es coincidente al eje x , y si su centro se ubica en el origen, tiene la

siguiente forma: